3 Cara Eliminasi Gauss Jordan 3 x 3 pada Sistem Persamaan Linear

Dutormasi.com -Ya bagi kamu seorang mahasiswa teknik, pasti tidak akan lepas dari belajar dengan metode numerik ataupun aljabar linear. Pada pelajaran tersebut ada beberapa materi yang penting dipelajari dan salah satunya adalah menyelesaikan sistem persamaan linear. Terdapat beberapa cara yang bisa kita gunakan yaitu dengan metode eliminasi gauss , metode eliminasi gauss jordan, dekomposisi LU, metode jacobi dan gauss seidel. Maka pada kali ini,dutormasi akan menjelsakan dan membahas tentang metode eliminasi Gauss jordan.


Sebelum masuk kepada materinya, ada baiknya kita mengetahui dulu siapa sih sebenarnya Gauss dan Jordan ini?

Siapa Sebenarnya Gauss dan Jordan? 


Carl Friedrich Gauss (1777-1855) memiliki pangglan Gauss merpakan seorang matematikawan yang berasal dari jerman yang mempunyai julukan sebagai "Prince of Mathematics". Dari julukannya saja kita telah mengetahui, bahwa gauss ini merupakan seorang yang ahli dalam matematika, sehingga dengan keahliannya dia menemukan metode eliminasi gauss dan kemudian dia sempurnakan lagi menjadi metode eliminasi Gauss-Jordan.

Cemille Jordan (1838-1922) biasa dipanggi Jordan merupakan seorang matematikawan yang berasal dari negara Prancis yang juga menjadi seorang profesor di Ecole Polytechnique, Paris. Jordan sangat dikenal dalam kontribusinya didalam teori matriks dan pastinya dengan teorama buatannya, yaitu Teorema Kurva Jordan yang dituliskan di dalam buku yang berjudul Cours d'Analyse.

Eliminasi Gauss-Jordan


Eliminasi Gauss-Jordan merpakan sebuah metode ataupun prosedur sistem persamaan linear (SPL) dengan cara mengubahnya menjadi sebuah bentuk matriks eselon baris tereduksi dan operasi baris elementer.

Ilustrasinya penyelesaiannya  sebagai berikut :

a
b
c
d
e
f
g
h
i

Rubah menjadi Gauss :

1
?
?
0
1
?
0
0
1



Kemudian untuk  menghasilkan nilai SPL, menggunakan Gauss-Jordan harus seperti dibawah ini :

1
0
0
0
1
0
0
0
1




Lalu Apa itu Eselon Baris Tereduksi?


Matriks eselon baris tereduksi adalah sebuah bentuk matriks eselon baris yang lebih disederhanakan yang bertujuan agar lebih mudah dalam mencari pemecahan atau solusi dari suatu sistem persamaan. Agar dapa mencapai bentuk eselon baris tereduksi tersebut dioerlukan 4 sifat yang terdiri dari 3 sifat bentuk eselon baris dan 1 sifat yang khusus.

Inilah 4 sifat agar dapat terbentuk eselon baris tereduksi :
1. Jika dalam suatu baris semua angka atau elemennya tidak nol, maka bilangan tidak nol pertama dalam baris tersebut adalah 1, dan bisa kita sebut dengan 1 utama/pertama.
2. Kemudian jika terdapat dalam matriks memiliki baris yang semua elemennya bernilai nol, maka semua baris yang bersifat seperti itu harus dikelompokkan dan diletakkan di bawah matriks.
3. Sifat ketiga yaitu setiap dua baris yang berurutan yang memenuhi sifat ke-1 diatas, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah darinya atau letaknya harus lebih kekanan dari 1 utama pada baris sebelumnya atau baris yang lebih tinggi darinya.

Berikutlah Contoh matriks eselon baris yang memenuhi ketiga sifat diatas :

0
1
0
0
4
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
dan
1
3
5
0
1
8
dan juga

1
3
0
1
4. Sifat yang terakhir atau ke-4 ini merupakan sebuah sifat khusus yaitu setiap kelompok  yang mengandung 1 utama maka elemen-elemen lain selain 1 utama adalah bernilai nol.
Berikut contoh matriks eselon baris tereduksi yang memenuhi keempat sifat maupun syarat diatas :
A = 

0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0

B= 

1
0
0
0
1
0
0
0
1
Ya jadi setelah memahami bentuk eselon baris tereduksi maka selanjutnya kita akan langsung mencoba menyelesaikan sistem persamaan linear sengan eliminasi gauss-jordan yakni dengan cara mempresentasikan kedalam matriks kemudian mengubahnya kebentuk eselon baris tereduksinya.

Penerapan Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-jordan sebenarnya akan lebih terasa bermanfaat jika sistem persamaan linear yang kita cari terdiri dari banyak persamaan dan variabel, semisalnya sistem persamaan linear tersebut mempunyai 5 persamaan dan 5 variabel di dalamnya. Bailah kita langsung saja masuk kepada soal soalnya :


Contoh 1 


Diberikan suatu sistem persamaan linear sebagai berikut :
3x - 0.1y - 0.2z = 7.85
0.1x + 7y - 0.3z = -19.3
0.3x - 0.2y + 10z = 71.4

Penyelesaian :

Pertama representasikan sistem persamaan linear tersebut ke dalam bentuk matriks :
3
-0.1
-0.2
7.85
0.1
7
-0.3
-19
0.3
-0.2
10
71.4

Langkah 1 
Karena pada baris pertama belum bernilai 1 utama, maka yang harus kita lakukan adalah melakukan operasi R1/3.
Sehingga diperoleh :

1
-0.0333
-0.0667
2.61667
0.1
7
-0.3
-19
0.3
-0.2
10
71.4
Dilanjutkan menyederhanakan baris ke-2 dan bari ke-3 dengan operasi R2-(0.1R1) dan R3-(0.3R1) di dapat :

1
-0.0333
-0.0667
2.61667
0
7.00333
-0.29933
-19.262
0
-0.19
10.02
70.615

Langkah 2

Kita buat 1 utama pada baris ke-2 dengan operasi R2/7.00333 dan kita peroleh :

1
-0.0333
-0.0667
2.61667
0
1
-0.0419
-2.7504
0
-0.19
10.02
70.615
Selanjutnya kita sederhanakan baris ke-1 dan ke-3 dengan operasi R1-(-0.0333R2) dan R3-(-0.19R2) sehingga diperoleh :

1
0
-0.0681
2.52499
0
1
-0.0419
-2.7504
0
0
10.012
70.0924

Langkah 3

Kita membuat 1 utama pada baris ke 3 dengan operasi R3/10.012 dan diperoleh :
1
0
-0.0681
2.52499
0
1
-0.0419
-2.7504
0
0
1
7.00081
Selanjutnya seperti sebelumnya kita sederhanakan baris ke-1 dan ke-2 dengan operasi R2-(-0.0419R3) dan R1-(-0.0681R3) . Sehingga menghasilan :
1
0
0
3.00148
0
1
0
-2.4571
0
0
1
7.00081

Maka didapatkan pada sistem persamaan linear tersebut yaitu x = 3.00148y = -2.4571 dan z = 7.00081

Bagaimana sangat mudah bukan? Semoga dengan membaca artikel ini, kamu dapat mengerjakan soal soal sistem persamaan linear lainnya menggunakan metode eliminasi gauss-jordan. Dan pada artikel berikutnya dutormasi akan memberikan contoh ke-2 dalam menyelesaikan sistem persamaan linear 4 x 4 menggunakan eliminasi gauss-jordan

Ditunggu artikel berikutnya yaa, semoga bermanfaat dan terimakasih !!

Ikaln Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel