Eliminasi Gauss 4 x 4 untuk Sistem Persamaan Linear dan Penyelesaiannya

Dutormasi.com-Pada materi sebelumnya kita telah mempelajari dan menyelesaikan soal menggunakan eliminasi gauss 3 x 3. Tapi jangan puas dulu sobat dutormasi, karena kamu masih butuh soal loo untuk memperlancar dan memahami pengerjaan soal sistem persamaan linear (SPL) menggunakan eliminasi gauss. Oke baiklah, pada kali ini kita akan mempelajari dan menyelesaikan soal untuk sistem persamaan linear (SPL) 4 variabel atau 4x4.

Eliminasi Gauss 4 x 4 untuk Sistem Persamaan Linear dan Penyelesaiannya


Hal yang membedakan dengan eliminasi gauss 3x3 dengan artikel ini adalah variabelnya yang lebih banyak yaitu 4 variabel.

Sistem persamaan linear 4 x 4
Bentuk umumnya :

a1x1+ b1x2 + c1x3 + d1x4 = p
a2x1 + b2x2 + c2x3 + d2x4 = q
a3x1 + b3x2 + c3x3 + d3x4 = r
a4x1 + b4x2 + c4x3 + d4x4 = s

Kemudian persamaan tersebut, kita jadikan sebuah matriks. Sehingga menjadi : 

abcdr
efghs
ijklt
mnopu
Hingga akhirnya akan membentuk segitiga atas dengan diperoleh nya nilai x4 nya. Seperti dibawah ini :

1bcdr
01ghs
001lt
0001x4

Contoh Soal : 

Sistem Persamaan Linear (SPL) :
8x1 - 9x2 + x3 - 8x4 = 80
-3x1 - x2 + 5x3 + 4x4 = 7
-2x1 - x2 - 3x3 + 8x4 = -30
-2x1 - 8x2 - x3 + 2x4 = 18

Proses Penyelesaian :

1. Langkah Awal yang harus kita lakukan adalah, membuat sistem persamaan linear tersebut menjadi matriks augmentasi.

8-91-880
-3-1547
-2-1-38-30
-2-8-1218

2. Kemudian kita mambuat baris pertama dan kolom pertama menjadi nilai angka 1dengan cara membagi baris 1 dibagi menjadi 8 atau R1/8.

8-91-880R1/8
-3-1547
-2-1-38-30
-2-8-1218

Sehingga matriks diatas akan berubah menjadi :

1-1.1250.125-110
-3-1547
-2-1-38-30
-2-8-1218

Note : R = row/baris

2. Selanjutnya kita akan menyederhanakan baris ke-2 , ke-3 dan ke-4 agar dapat menghasilkan angka 0 pada baris 2,3 dan 4 dan kolom 1.
Dengan Operasi pada baris 2 : R2-(-3R1)
Operasi pada baris ke 3 : R3-(-2R1)
Operasi pada baris ke 4 : R4-(-2R1)

1-1.1250.125-110
-3-1547R2-(-3R1)
-2-1-38-30R3-(-2R1)
-2-8-1218R4-(-2R1)

Dan akan berubah menjadi :

1-1.1250.125-110
0-4.3755.375137
0-3.25-2.756-10
0-10.25-0.75038
3. Kemudian kita akan membuat angka 1 pada baris kedua dan kolom kedua dengan operasi R2/-4.375.
1-1.1250.125-110
0-4.3755.375137R2/-4.375
0-3.25-2.756-10
0-10.25-0.75038
Dan diperoleh :
1-1.1250.125-110
01-1.22857-0.22857-8.45714
0-3.25-2.756-10
0-10.25-0.75038

4. Lalu kita akan menyederhanakannya lagi agar mendapatkan angka 0 pada kolom 2 dan baris 3 dan 4. Dengan operasi pada baris ketiga : R3-(-3.25R2) dan pada baris keempat : R4-(-10.25R2).
1-1.1250.125-110
01-1.22857-0.22857-8.45714
0-3.25-2.756-10R3-(-3.25R2)
0-10.25-0.75038R4-(-10.25R2)

Setelah dioperasikan akan menghasilkan :
1-1.1250.125-110
01-1.22857-0.22857-8.45714
00-6.742865.257143-37.4857
00-13.3429-2.34286-48.6857
5.  Seperti sebelumnya kita akan membuat angka 1 pada baris 3 dan kolom 3 dengan cara melakukan operasi R3/-6.74286

1-1.1250.125-110
01-1.22857-0.22857-8.45714
00-6.742865.257143-37.4857R3/-6.74286
00-13.3429-2.34286-48.6857

Dan diperoleh : 

1-1.1250.125-110
01-1.22857-0.22857-8.45714
001-0.779665.559322
00-13.3429-2.34286-48.6857

6. Langkah selanjutnya membuat baris 4 dan kolom 3 menjadi angka 0. Dengan cara mengoperasikan R4-(-13.3429R3).

1-1.1250.125-110
01-1.22857-0.22857-8.45714
001-0.779665.559322
00-13.3429-2.34286-48.6857R4-(-13.3429R3)

Dan dihasilkan : 

1-1.1250.125-110
01-1.22857-0.22857-8.45714
001-0.779665.559322
000-12.745825.49153

7. Dan langkah terakhir, kita akan membuat baris 4 dan kolom 4 menjadi angka 1. Dengan melakukan operasi pada baris 4 yaitu : R4/-12.7458

1-1.1250.125-110
01-1.22857-0.22857-8.45714
001-0.779665.559322
000-12.745825.49153R4/-127458

Diperoleh menjadi : 

1-1.1250.125-110
01-1.22857-0.22857-8.45714
001-0.779665.559322
0001-2

Dari contoh di atas kita telah mendapatkan matriks dengan sifat segitiga atas, selanjutnya kita akan mensubsitusikan matriks tersebut. 

X4 = -2
X3 = (5.55932 + (0.77966 x -2) ) = 4 
X2 = -8.45714 + 1.22857 (4) + 0.22857 (-2) = -4
X1 = 10 + 1.125 (-4) - 0.125 (4) + 1 (-2) = 3

Jadi dengan soal diatas, di dapatkan nilai (x1,x2,x3,x4) = (3, -4, 4 , -2) 

Bagaimana cukup mudah bukan? Semoga kamu dapat memahami yaa. Dan jika kamu suka artikel ini, jangan lupa share ke teman teman kamu yang membutuhkan. Semoga bermanfaat dan terimakasih :)

Ikaln Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel