Dutormasi.com-Pada materi sebelumnya kita telah mempelajari dan menyelesaikan soal menggunakan eliminasi gauss 3 x 3. Tapi jangan puas dulu sobat dutormasi, karena kamu masih butuh soal loo untuk memperlancar dan memahami pengerjaan soal sistem persamaan linear (SPL) menggunakan eliminasi gauss. Oke baiklah, pada kali ini kita akan mempelajari dan menyelesaikan soal untuk sistem persamaan linear (SPL) 4 variabel atau 4×4.
Hal yang membedakan dengan eliminasi gauss 3×3 dengan artikel ini adalah variabelnya yang lebih banyak yaitu 4 variabel.
Sistem persamaan linear 4 x 4
Bentuk umumnya :
a1x1+ b1x2 + c1x3 + d1x4 = p
a2x1 + b2x2 + c2x3 + d2x4 = q
a3x1 + b3x2 + c3x3 + d3x4 = r
a4x1 + b4x2 + c4x3 + d4x4 = s
DAPATKAN INFO TEKNOLOGI DI TELEGRAM KAMI
t.me/codedutormasi
Kemudian persamaan tersebut, kita jadikan sebuah matriks. Sehingga menjadi :
| a |
b |
c |
d |
r |
| e |
f |
g |
h |
s |
| i |
j |
k |
l |
t |
| m |
n |
o |
p |
u |
Hingga akhirnya akan membentuk segitiga atas dengan diperoleh nya nilai x4 nya. Seperti dibawah ini :
| 1 |
b |
c |
d |
r |
| 0 |
1 |
g |
h |
s |
| 0 |
0 |
1 |
l |
t |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
x4 |
Contoh Soal :
Sistem Persamaan Linear (SPL) :
8x1 – 9x2 + x3 – 8x4 = 80
-3x1 – x2 + 5x3 + 4x4 = 7
-2x1 – x2 – 3x3 + 8x4 = -30
-2x1 – 8x2 – x3 + 2x4 = 18
Proses Penyelesaian :
1. Langkah Awal yang harus kita lakukan adalah, membuat sistem persamaan linear tersebut menjadi matriks augmentasi.
| 8 |
-9 |
1 |
-8 |
80 |
| -3 |
-1 |
5 |
4 |
7 |
| -2 |
-1 |
-3 |
8 |
-30 |
| -2 |
-8 |
-1 |
2 |
18 |
2. Kemudian kita mambuat baris pertama dan kolom pertama menjadi nilai angka 1dengan cara membagi baris 1 dibagi menjadi 8 atau R1/8.
| 8 |
-9 |
1 |
-8 |
80 |
R1/8 |
| -3 |
-1 |
5 |
4 |
7 |
| -2 |
-1 |
-3 |
8 |
-30 |
| -2 |
-8 |
-1 |
2 |
18 |
Sehingga matriks diatas akan berubah menjadi :
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| -3 |
-1 |
5 |
4 |
7 |
| -2 |
-1 |
-3 |
8 |
-30 |
| -2 |
-8 |
-1 |
2 |
18 |
Note : R = row/baris
2. Selanjutnya kita akan menyederhanakan baris ke-2 , ke-3 dan ke-4 agar dapat menghasilkan angka 0 pada baris 2,3 dan 4 dan kolom 1.
Dengan Operasi pada baris 2 : R2-(-3R1)
Operasi pada baris ke 3 : R3-(-2R1)
Operasi pada baris ke 4 : R4-(-2R1)
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| -3 |
-1 |
5 |
4 |
7 |
R2-(-3R1) |
| -2 |
-1 |
-3 |
8 |
-30 |
R3-(-2R1) |
| -2 |
-8 |
-1 |
2 |
18 |
R4-(-2R1) |
Dan akan berubah menjadi :
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| 0 |
-4.375 |
5.375 |
1 |
37 |
| 0 |
-3.25 |
-2.75 |
6 |
-10 |
| 0 |
-10.25 |
-0.75 |
0 |
38 |
3. Kemudian kita akan membuat angka 1 pada baris kedua dan kolom kedua dengan operasi R2/-4.375.
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| 0 |
-4.375 |
5.375 |
1 |
37 |
R2/-4.375 |
| 0 |
-3.25 |
-2.75 |
6 |
-10 |
| 0 |
-10.25 |
-0.75 |
0 |
38 |
Dan diperoleh :
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| 0 |
1 |
-1.22857 |
-0.22857 |
-8.45714 |
| 0 |
-3.25 |
-2.75 |
6 |
-10 |
| 0 |
-10.25 |
-0.75 |
0 |
38 |
4. Lalu kita akan menyederhanakannya lagi agar mendapatkan angka 0 pada kolom 2 dan baris 3 dan 4. Dengan operasi pada baris ketiga : R3-(-3.25R2) dan pada baris keempat : R4-(-10.25R2).
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| 0 |
1 |
-1.22857 |
-0.22857 |
-8.45714 |
| 0 |
-3.25 |
-2.75 |
6 |
-10 |
R3-(-3.25R2) |
| 0 |
-10.25 |
-0.75 |
0 |
38 |
R4-(-10.25R2) |
Setelah dioperasikan akan menghasilkan :
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| 0 |
1 |
-1.22857 |
-0.22857 |
-8.45714 |
| 0 |
0 |
-6.74286 |
5.257143 |
-37.4857 |
| 0 |
0 |
-13.3429 |
-2.34286 |
-48.6857 |
5. Seperti sebelumnya kita akan membuat angka 1 pada baris 3 dan kolom 3 dengan cara melakukan operasi R3/-6.74286
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| 0 |
1 |
-1.22857 |
-0.22857 |
-8.45714 |
| 0 |
0 |
-6.74286 |
5.257143 |
-37.4857 |
R3/-6.74286 |
| 0 |
0 |
-13.3429 |
-2.34286 |
-48.6857 |
Dan diperoleh :
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| 0 |
1 |
-1.22857 |
-0.22857 |
-8.45714 |
| 0 |
0 |
1 |
-0.77966 |
5.559322 |
| 0 |
0 |
-13.3429 |
-2.34286 |
-48.6857 |
6. Langkah selanjutnya membuat baris 4 dan kolom 3 menjadi angka 0. Dengan cara mengoperasikan R4-(-13.3429R3).
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| 0 |
1 |
-1.22857 |
-0.22857 |
-8.45714 |
| 0 |
0 |
1 |
-0.77966 |
5.559322 |
| 0 |
0 |
-13.3429 |
-2.34286 |
-48.6857 |
R4-(-13.3429R3) |
Dan dihasilkan :
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| 0 |
1 |
-1.22857 |
-0.22857 |
-8.45714 |
| 0 |
0 |
1 |
-0.77966 |
5.559322 |
| 0 |
0 |
0 |
-12.7458 |
25.49153 |
7. Dan langkah terakhir, kita akan membuat baris 4 dan kolom 4 menjadi angka 1. Dengan melakukan operasi pada baris 4 yaitu : R4/-12.7458
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| 0 |
1 |
-1.22857 |
-0.22857 |
-8.45714 |
| 0 |
0 |
1 |
-0.77966 |
5.559322 |
| 0 |
0 |
0 |
-12.7458 |
25.49153 |
R4/-127458 |
Diperoleh menjadi :
| 1 |
-1.125 |
0.125 |
-1 |
10 |
| 0 |
1 |
-1.22857 |
-0.22857 |
-8.45714 |
| 0 |
0 |
1 |
-0.77966 |
5.559322 |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
Dari contoh di atas kita telah mendapatkan matriks dengan sifat segitiga atas, selanjutnya kita akan mensubsitusikan matriks tersebut.
X4 = -2
X3 = (5.55932 + (0.77966 x -2) ) = 4
X2 = -8.45714 + 1.22857 (4) + 0.22857 (-2) = -4
X1 = 10 + 1.125 (-4) – 0.125 (4) + 1 (-2) = 3
Jadi dengan soal diatas, di dapatkan nilai (x1,x2,x3,x4) = (3, -4, 4 , -2)
Bagaimana cukup mudah bukan? Semoga kamu dapat memahami yaa. Dan jika kamu suka artikel ini, jangan lupa share ke teman teman kamu yang membutuhkan. Semoga bermanfaat dan terimakasih 🙂
